الجبر مقابل الجبر سيغما


الاجابه 1:

هل ذكرت أن علماء الرياضيات يمتصون تسمية الأشياء؟

قد يعني مصطلح "الجبر" شيئين مختلفين جدًا:

  • مجال المعرفة ، مجال داخل الرياضيات يتعامل تقريبًا مع العمليات النهائية والهياكل التي ينشئونها (الحقول ، الحلقات ، المجموعات ، الوحدات ، إلخ.) (الجبر)
  • بنية رياضية معينة: فضاء متجه عبر حقل يحمل أيضًا عملية منتج ، ويتم تلبية بعض البديهيات المتوقعة (الجبر فوق حقل).

من ناحية أخرى ، أ

\سيجما

- الجبر هو نوع مختلف تمامًا من البنية: نظرًا لمجموعة

X

، أ

\سيجما

-الجبر على

X

هي عائلة من مجموعات فرعية من

X

الذي يتضمن

X

نفسها ومغلقة تحت مكملات والنقابات المعدودة (

سيجما الجبر

).

\ sigma-algebras هي واحدة من أكثر المفاهيم الأساسية في نظرية القياس ، وبالتالي في التحليل الرياضي الحديث. ومع ذلك ، فهي ليست جزءًا من "الجبر" بالمعنى الأول المذكور أعلاه. أيضًا ، لا توجد علاقة ملحوظة بين الجبر والجبر سيغما ، لذلك من الصعب قول أي شيء ذي معنى حول الاختلاف بينهما: ما هو هو الفرق بينهما. شيئان مختلفان تماما.


الاجابه 2:

يجب أن أختلف باحترام مع إجابة ألون أميت ، حيث يقول أنه "لا توجد علاقة واضحة بين الجبر والجبر".

في أكثر معانيها مجردة ، فإن "الجبر" هو مجموعة أ ، مع بعض العمليات على تلك المجموعة. في الدورة الأولى في "الجبر المجرد" ، نقصر انتباهنا على العمليات المنتهية - الوظائف التي ، بالنسبة لبعض الأعداد الصحيحة غير السالبة n ، تأخذ المعلمات n \ vec {a} = a_0 ، \ ldots ، a_ {n-1} وإرجاع بعض قيمة أخرى f (\ vec {a}) \ في A.

ومع ذلك ، لمجرد أن الدورة الأولى تغطي الهياكل ذات العمليات النهائية فقط ، فنحن لسنا مقيدين من المضي في تحديد ودراسة الهياكل ذات العمليات غير المحدودة - وهي الوظائف التي تأخذ بعض الكاردينال \ kappa تسلسل \ vec {a} = \ langle a_i \ rangle_ {i <\ kappa} للطول \ kappa (تمامًا كما أخذت العملية النهائية أعلاه تسلسلاً من الطول n) وإرجاع بعض القيمة f (\ vec {a}) \ في A.

الآن: هناك استخدام آخر أكثر تقييدًا لـ "الجبر" لم يذكره ألون ، لأنه قد سقط في الغالب خارج الموضة: "الجبر" في هذا المعنى هو مجموعة من مجموعات فرعية من مجموعة عالمية مغلقة تحت الاتحاد والتقاطع. هذه "جبر" بالمعنى المجرد ، لأن كلا من الاتحاد والتقاطع عمليات نهائية (لكل منها ، ن = 2). ستسمع أحيانًا ما يشار إليه باسم "جبر المجموعات".

يختلف معنى "الجبر" في الاستخدام الشائع للغة الإنجليزية مرة أخرى - هنا ، تعني الكلمة تقريبًا "دراسة التلاعب بالمتغيرات الرمزية التي تهدف إلى التجريد عبر بعض المجال الرياضي وعملياته". في المدرسة الإعدادية ، هذه المتغيرات مجردة على الأرقام وعمليات الجمع والضرب (وبالامتداد والطرح والقسمة) ؛ لكن المرء يسمع أيضًا الحديث عن "الجبر المنطقي" ، حيث تكون المتغيرات مجردة على قيم الحقيقة والعمليات هي "و" و "أو" و "لا".

يمكن أن يسبب هذا الارتباك ، لأن عالم الرياضيات نادرًا ما يتحدث عن "الجبر المنطقي" بهذا المعنى. ومع ذلك ، ستتحدث عن "الجبر المنطقي" ، وتشير إلى هذه العبارة إلى هيكل كما هو موضح أعلاه - مجموعة ، إلى جانب خمس عمليات نهائية [1] في تلك المجموعة التي ترضي بعض البديهيات (في الأساس ، كل معادلة صحيحة في الجبر المنطقي \ {\ mathrm {true} ، \ mathrm {false} \}).

لماذا أتحدث عن هذه الأشياء؟ لان

  1. كل \ sigma-algebra هو جبر منطقي (بمعنى الفقرة الأخيرة) ، و
  2. هو في الواقع توسع في البنية الجبرية المنطقية على تلك المجموعة من المجموعات ، حيث تكون العمليات (العمليات) غير المعدودة اتحادًا وتقاطعًا محسوبين.

أظن أن هذه الجملة من "الجبر" تسبق صيغ بيرخوف / فان دير فيردن / نويثر للجبر الحديث ، لكن الخط المباشر موجود تمامًا ويمكن تمييزه.

[1] هذه هي العمليات الثنائية للوحدة والتقاطع ، والعمل الأحادي للشكوى ، والعمليات الصفرية (الثابتة) \ mathrm {true} و \ mathrm {false}.


الاجابه 3:

A \ sigma algebra في مجموعة X هي مجموعة \ رياضيات {F} من مجموعات فرعية من X تستوفي الخصائص التالية:

  • المجموعة الفرعية الفارغة ، و X كلاهما في \ mathcal {F}
  • \ mathcal {F} مغلق تحت التكملة ، و
  • \ mathcal {F} مغلق تحت اتحادات معدودة.

الجبر ، من ناحية أخرى ، على مجموعة X هو مجموعة \ رياضيات {F} من مجموعات فرعية من X ترضي

  • المجموعة الفرعية الفارغة ، و X كلاهما في \ mathcal {F}
  • \ mathcal {F} مغلق تحت التكملة ، و
  • \ mathcal {F} مغلق تحت اتحادات محدودة.

من الواضح أن كل جبر سيجما هو جبر ، لكن العكس ليس صحيحًا.

ضع في اعتبارك مجموعة X من الأرقام الطبيعية مثل X = \ mathbb {N} والجبر الموجود عليها والذي يتكون من جميع مجموعات X الفرعية مع الخاصية التي تحتوي فيها المجموعة أو مكملها على العديد من العناصر.

\ mathcal {F} = \ {A \ subseteq \ mathbb {N}: | A | \ text {منتهي أو} | A ^ c | \ نص {محدود} \}

تحقق من أن \ mathcal {F} هو جبر ، ولكن ليس \ sigma algebra. إنها ليست \ sigma الجبر لأن مجموعة كل الأرقام الطبيعية الزوجية هي اتحاد العديد من مجموعات المفردات ، لكنها ليست في \ mathcal {F} كمجموعة من الأرقام الطبيعية ، وكلاهما مكمل يتكون من عدد لا نهائي عناصر.


الاجابه 4:

كما يشير ألون أميت ، فإن كلمة الجبر غير المزخرفة مكتظة إلى حد ما في الرياضيات. يحدث هذا كثيرًا. على أي حال ، فإن الاستخدام الأكثر شيوعًا هو تحديد التخصص الفرعي الكامل للرياضيات الذي يتعامل مع مجموعات مجهزة ببعض البنية الإضافية في شكل عملية واحدة أو أكثر - مجموعات وحلقات ومساحات متجهة وما إلى ذلك. استخدام آخر شائع جدًا لكلمة الجبر هو اختصار لجبر فوق حقل ، على سبيل المثال ، \ mathcal {K} ، يسمى أيضًا \ mathcal {K} -gegera.

أجمع السؤال الأصلي هو حول استخدام أقل شيوعًا إلى حد ما لكلمة الجبر التي تحدث في نظرية القياس. في هذا السياق ، يرتبط الجبر (أو الجبر للمجموعات) ارتباطًا وثيقًا بالمفهوم الموجود في كل مكان \ sigma-algebra. فيما يلي التعريفات ذات الصلة:

  • A \ sigma-algebra على مجموعة X عبارة عن مجموعة من مجموعات فرعية من X ، إحداها X نفسها ، وهي مغلقة تحت تكملة واتحادات معدودة.
  • الجبر في مجموعة X عبارة عن مجموعة من مجموعات فرعية من X ، إحداها X نفسها ، والتي يتم إغلاقها تحت التكميلية والاتحادات المحدودة

من الواضح على الفور أن كل جبر / سيغما على X هو أيضًا جبر على X. ولكن العكس هو الصحيح بشكل عام. هنا مثال مضاد بسيط.

لتكن X أي مجموعة لا تعد ولا تحصى وليكن \ mathcal {A} _1 عبارة عن مجموعة من كل مجموعات فرعية من X إما محدودة أو cofinite. لنكون \ mathcal {A} _2 عبارة عن مجموعة من كل مجموعات فرعية من X سواء كانت قابلة للعد أو قابلة للحساب. هنا يقال أن المجموعة هي cofinite إذا كانت مكملتها محدودة ، قابلة للحساب بالمثل. من السهل التحقق من أن \ mathcal {A} _1 هو جبر على X ولكنه ليس \ sigma-algebra ؛ \ mathcal {A} _2 هو \ sigma-algebra ، و fortiori أيضًا ، والجبر.


الاجابه 5:

اميت جويال

أعطى أبسط مثال. مثال آخر ، والذي له أهمية أساسية في نظرية القياس ، هو مجموعة من كل اتحادات محدودة من الفواصل (إما مفتوحة ، مغلقة أو نصف مفتوحة ، نصف مغلقة ، بما في ذلك النقاط الفردية بما في ذلك الفترات التي تكون فيها إحدى نقاط النهاية لا نهائية). يُنظر إلى هذه المجموعة بسهولة على أنها جبر ، ولكن لا يتم إغلاقها تحت اتحادات معدودة. استكمالها إلى الجبر سيجما (أي أخذ الجبر سيجما الحد الأدنى الذي يحتوي عليه) يمنحك الجبر سيغما

مجموعات بوريل

.


الاجابه 6:

في سياق المجموعات ، الجبر هو ببساطة جبر سيغما مغلق تحت اتحادات محدودة بدلاً من اتحادات معدودة.

الجبر للمجموعات - ويكيبيديا

الاجابه 7:

أعتقد أن مجموعة الاتحادات المحدودة من الفواصل ومكملاتها تشكل الجبر ، ولكن ليس الجبر سيغما. على وجه الخصوص ، الاتحاد اللامتناهي لـ (0 ، 1) ، (1 ، 1.5) ، (2 ، 2.25) ، (3 ، 3.125) ، ... ، (n ، n + 1/2 ^ n) ، ... ليس محدودًا اتحاد الفترات.