السكان مقابل عينة الانحراف المعياري
 

في الإحصاءات ، يتم استخدام العديد من المؤشرات لوصف مجموعة البيانات المقابلة لاتجاهها المركزي وتشتتها وانحرافها. الانحراف المعياري هو أحد أكثر المقاييس شيوعًا لتشتت البيانات من مركز مجموعة البيانات.

بسبب الصعوبات العملية ، لن يكون من الممكن استخدام البيانات من جميع السكان عند اختبار الفرضية. لذلك ، نحن نستخدم قيم البيانات من العينات لعمل استنتاجات حول السكان. في مثل هذه الحالة ، تسمى هذه المقدرات لأنها تقدر قيم معلمات السكان.

من المهم للغاية استخدام المقدرات غير المتحيزة في الاستدلال. يقال أن المقدر غير متحيز إذا كانت القيمة المتوقعة لهذا المقدر مساوية للمعلمة السكانية. على سبيل المثال ، نستخدم متوسط ​​العينة كمقدر غير متحيز لمتوسط ​​السكان. (رياضيا ، يمكن أن تظهر أن القيمة المتوقعة لمتوسط ​​العينة تساوي متوسط ​​السكان). في حالة تقدير الانحراف المعياري للسكان ، فإن الانحراف المعياري للعينة هو مقدر غير متحيز أيضًا.

ما هو الانحراف المعياري للسكان؟

عندما يمكن أخذ بيانات جميع السكان في الاعتبار (على سبيل المثال في حالة التعداد) ، فمن الممكن حساب الانحراف المعياري للسكان. لحساب الانحراف المعياري للسكان ، يتم أولاً حساب انحرافات قيم البيانات من متوسط ​​السكان. يُطلق على مربع الجذر التربيعي (الوسط التربيعي) للانحرافات الانحراف المعياري للسكان.

في فصل من 10 طلاب ، يمكن بسهولة جمع بيانات حول الطلاب. إذا تم اختبار فرضية على مجموعة الطلاب هذه ، فلا داعي لاستخدام القيم النموذجية. على سبيل المثال ، يتم قياس أوزان الطلاب العشرة (بالكيلوغرامات) على 70 و 62 و 65 و 72 و 80 و 70 و 63 و 72 و 77 و 79. ثم يبلغ متوسط ​​وزن العشرة أشخاص (بالكيلوغرام) (70 + 62 + 65 + 72 + 80 + 70 + 63 + 72 + 77 + 79) / 10 ، أي 71 (بالكيلوغرام). هذا هو متوسط ​​السكان.

الآن لحساب الانحراف المعياري للسكان ، نحسب الانحرافات عن المتوسط. انحرافات كل من الوسط (70 - 71) = -1 ، (62 - 71) = -9 ، (65 - 71) = -6 ، (72 - 71) = 1 ، (80 - 71) = 9 ، (70 - 71) = -1 ، (63 - 71) = -8 ، (72 - 71) = 1 ، (77 - 71) = 6 و (79 - 71) = 8. مجموع مربعات الانحراف هي ( -1) 2 + (-9) 2 + (-6) 2 + 12 + 92 + (-1) 2 + (-8) 2 + 12 + 62 + 82 = 366. الانحراف المعياري للسكان هو √ (366 / 10) = 6.05 (بالكيلوغرام). 71 هو الوزن المتوسط ​​الدقيق لطلاب الفصل و 6.05 هو الانحراف المعياري الدقيق للوزن من 71.

ما هو الانحراف المعياري للعينة؟

عند استخدام بيانات من عينة (بالحجم n) لتقدير معلمات السكان ، يتم حساب الانحراف المعياري للعينة. أولاً يتم حساب انحرافات قيم البيانات من متوسط ​​العينة. نظرًا لأنه يتم استخدام متوسط ​​العينة بدلاً من متوسط ​​السكان (وهو غير معروف) ، فإن أخذ المتوسط ​​التربيعي غير مناسب. من أجل التعويض عن استخدام متوسط ​​العينة ، يتم تقسيم مجموع مربعات الانحرافات على (n-1) بدلاً من n. نموذج الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي لهذا. في الرموز الرياضية ، S = ∑ {∑ (xi-ẍ) 2 / (n-1)} ، حيث S هي الانحراف المعياري للعينة ، ẍ هي متوسط ​​العينة و xi هي نقاط البيانات.

افترض الآن ، في المثال السابق ، أن السكان هم طلاب المدرسة بأكملها. بعد ذلك ، سيكون الفصل مجرد عينة. إذا تم استخدام هذه العينة في التقدير ، فإن الانحراف المعياري للعينة سيكون √ (366/9) = 6.38 (بالكيلوغرامات) منذ 366 مقسومًا على 9 بدلاً من 10 (حجم العينة). حقيقة الملاحظة هي أن هذا غير مضمون ليكون القيمة الدقيقة لانحراف المعيار السكاني. انها مجرد تقدير لذلك.