النقابي مقابل تبادلي

في حياتنا اليومية ، يجب أن نستخدم الأرقام كلما احتجنا إلى الحصول على مقياس لشيء ما. في متجر البقالة ، وفي محطة الوقود ، وحتى في المطبخ ، نحتاج إلى إضافة وطرح وضرب كميتين أو أكثر. من ممارستنا ، نقوم بإجراء هذه الحسابات دون عناء. لا نلاحظ أبدًا أو نتساءل عن سبب قيامنا بهذه العمليات بهذه الطريقة المحددة. أو لماذا لا يمكن إجراء هذه الحسابات بطريقة مختلفة. يتم إخفاء الإجابة بالطريقة التي يتم بها تعريف هذه العمليات في الحقل الرياضي للجبر.

في الجبر ، يتم تعريف العملية التي تنطوي على كميتين (مثل الإضافة) على أنها عملية ثنائية. بتعبير أدق ، هي عملية بين عنصرين من مجموعة وتسمى هذه العناصر "المعامل". يمكن تعريف العديد من العمليات في الرياضيات بما في ذلك العمليات الحسابية المذكورة سابقًا والعمليات التي تمت مواجهتها في نظرية المجموعة والجبر الخطي والمنطق الرياضي على أنها عمليات ثنائية.

هناك مجموعة من القواعد الناظمة المتعلقة بعملية ثنائية محددة. الخصائص الترابطية و التبادلية هما خاصيتان أساسيتان للعمليات الثنائية.

المزيد عن الملكية التبادلية

افترض أن بعض العمليات الثنائية ، التي يرمز لها بالرمز is ، يتم تنفيذها على العنصرين A و B. إذا كان ترتيب المعاملات لا يؤثر على نتيجة العملية ، فيُقال إن العملية تبادلية. أي إذا كانت A ⊗ B = B ⊗ A فإن العملية تكون تبادلية.

العمليات الحسابية الجمع والضرب تبديلا. لا يؤثر ترتيب الأرقام المضافة معًا أو المضروب معًا في الإجابة النهائية:

A + B = B + A ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9

A × B = B × A ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20

ولكن في حالة التقسيم التغيير في الترتيب يعطي المتبادل للآخر ، وفي الطرح التغيير يعطي السلبي للآخر. وبالتالي،

A - B ≠ B - A ⇒ 4 - 5 = -1 و 5 - 4 = 1

A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5 = 0.8 و 5 ÷ 4 = 1.25 [في هذه الحالة A و B ≠ 1 و 0]

في الواقع ، يُقال أن الطرح معادٍ للتخفيف. حيث A - B = - (B - A).

أيضًا ، تعتبر الارتباطات المنطقية ، والاقتران ، والانفصال ، والتضمين ، والتكافؤ ، عوامل تبديل. وظائف الحقيقة هي أيضا تبديل. مجموعة عمليات الاتحاد وتقاطع هي تبديلية. بالإضافة إلى ذلك ، فإن المنتج العددي للناقلات يكون مفيدًا أيضًا.

لكن طرح المتجه ومنتج المتجه غير تبادلي (منتج المتجه لاثنين من المتجهات غير مضاد للتبديل). إضافة المصفوفة تبديلية ، لكن الضرب والطرح غير تبادليين. (يمكن أن يكون تكاثر مصفوفة اثنين متبادلاً في حالات خاصة ، مثل ضرب مصفوفة بعكسيها أو مصفوفة الهوية ؛ ولكن بالتأكيد المصفوفات غير تبادلية إذا كانت المصفوفات ليست بنفس الحجم)

المزيد عن الملكية المشتركة

يقال إن العملية الثنائية تكون ارتباطية إذا كان ترتيب التنفيذ لا يؤثر على النتيجة عند وجود اثنين أو أكثر من حوادث المشغل. النظر في العناصر A و B و C والعملية الثنائية ⊗. يقال أن العملية associ تكون نقابية إذا

A ⊗ B ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C

من الدوال الحسابية الأساسية ، تكون الجمع والضرب فقط هي الترابطية.

A + (B + C) = (A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12

A × (B × C) = (A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60

الطرح والقسمة غير مترابطين ؛

A - (B - C) ≠ (A - B) - C ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 و (5 - 4) - 3 = -2

A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2.4 و (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0.2666

تكون الوصلات المنطقية هي الانفصام والترابط والتكافل ارتباطية ، وكذلك اتحاد عمليات التقاطع والتقاطع. المصفوفة وناقلات الجمع هي النقابي. منتج العددية للناقلات مترابط ، لكن المنتج المتجهي ليس كذلك. مصفوفة الضرب هو الترابطي فقط في ظل ظروف خاصة.

ما هو الفرق بين الملكية التبادلية والملكية النقابية؟

• كل من الملكية الترابطية والممتلكات التبادلية هي خصائص خاصة للعمليات الثنائية ، وبعضها يرضيها والبعض الآخر لا يرضيها.

• يمكن رؤية هذه الخصائص في العديد من أشكال العمليات الجبرية وغيرها من العمليات الثنائية في الرياضيات ، مثل التقاطع والاتحاد في نظرية المجموعات أو الروابط المنطقية.

• الاختلاف بين التبادلية والنقابية هو أن الخاصية التبادلية تنص على أن ترتيب العناصر لا يغير النتيجة النهائية بينما تنص الخاصية الترابطية ، على أن الترتيب الذي يتم تنفيذ العملية به ، لا يؤثر على الإجابة النهائية.